Unidad 3 .Limites y continuidad
3.1 LIMITE DE SUCESION
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
3.2 LIMITE DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL
Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:
f:D————->R
x————->x2.
Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
- El conjunto inicial o dominio de la función.
- El conjunto final o imagen de la función.
- La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida por:
f:R ——–>R
x———>x2.
asigna a cada número real su cuadrado.
Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.
Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:
lim(f)=R+.
La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.
3.3 CALCULO DE LÍMITES
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:
Es decir: Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.
No podemos calcular 
porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
3.4 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).
lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).
lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).
lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f g , en el punto x = a, es l m.
lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)
Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.
3.5 LIMITES LATERALES
Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.
El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera
- x ® a- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.
- x ® a+ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.
Límite lateral por izquierda
 si dado e > 0, $ d > 0 tal que
si a - d < x < a Þ
  |
Límite lateral por derecha
 si dado e > 0, $ d > 0 tal que
si a < x < a + d Þ
  |
3.6 LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO
||LIMITES INFINITOS||
Decimos que lim f(x)=
si para los valores de x proximos a a, x→ a los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.
si para los valores de x proximos a a, x→ a los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.
Con rigor, decimos que lim f(x)= si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.
si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.
Análogamente, lim f(x) = –
x→a
x→a
si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.
Diremos que lim f(x) = –
x→a
x→a
si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces f(x) < -k
•Ejemplo:
la función f(x)= 1/|x|
En el punto x=0 se tiene:
lim 1/|x| = –
x→ 0-
→ lim 1/|x| = x→0
x→ 0-
→ lim 1/|x| =
x→0
lim 1/|x| =
x→a’
x→a’
||LIMITES AL INFINITO||
cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:
• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.
x→
x→
•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L. x→
3.7 ASINTOTAS
Una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva, que la distancia entre las 2 tiende a 0 a medida que se extiende indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta, o que en ambas presentan un comportamiento asintótico.
Asíntota Vertical (AV)
La recta x=a es asíntota vertical de f(x) si limx->a+ f(x) = inf o limx->a- f(x) = inf.
Asíntota Horizontal (AH)
La recta y=b es asíntota horizontal de f(x) si limx->inf f(x) = b.
Un ejemplo que podemos tener es:
| f(x) = x/(x-1)limx->1+ f(x) = +inf limx->1- f(x) = -inf=> x=1 es AV de f(x)
limx->inf f(x) = 1
=> y=1 es AH de f(x)
 |
3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo
Continuidades
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.
Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir
Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Discontinuidades
1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.
2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.
3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable.
3.9 TIPOS DE DISCONTINUIDADES
Discontinuidad evitable
Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:
o no existe:
se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:
Discontinuidad esencial o no evitable
Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:
- Existen los límites laterales pero no coinciden.
- Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.
- No existe alguno de los límites laterales o ambos.
Discontinuidad de primera especie
En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:
- DE SALTO FINITO
Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:
A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:De salto infinitoSi uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:
como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:
Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.
A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:De salto infinitoSi uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:
DISCONTINUIDAD ASINTÓTICA
Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:
A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.
Discontinuidad de segunda especie
Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Derivadas
4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.
Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos porΔx tenemos que la definición queda:
En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:
Función derivada. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda
4.2 LA INTERPRETACION GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos porΔx tenemos que la definición queda:
En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:
Función derivada. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda
4.2 LA INTERPRETACION GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)
mt = f'(a)
4.2 LA INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida que la entrada de la función varía. Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta varía en cada.
Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la función.
La noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representación geométrica, y la otra como la tasa de variación, que es la representación física. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la función geométrica.
Supongamos que una función f(x) = x2. La gráfica de la función luciría de la siguiente forma
La curva de color azul representa el gráfico de la función. Tome dos puntos en el eje x, supongamos x y x0 como en el gráfico de arriba. Determine el valor de la función en esos valores de x. Ahora trace una línea que pase por esos puntos sobre la curva de la función para obtener una línea recta. La línea roja en el gráfico anterior representa esa línea.
A medida que muevo los puntos sobre el eje x más cerca uno del otro conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a través de la curva de la función. En el instante que x = x0, la gráfica se vería así,
En tal situación, la recta tocaría el grafico en un solo punto y por tanto tendría la misma pendiente que la pendiente de la gráfica en ese punto. Esta recta se conoce como la tangente de la función en ese punto.
Determinar la pendiente de la tangente en ese punto te extraerá la derivada de la función en ese punto.
La pendiente de la recta que posee los puntos(x, f(x)) y (x0, f(x0)) será,
Aquí el valor de x no debe ser igual a x0. Mientras que la pendiente de la tangente, lo que es igual, la derivada de la función, donde tenemos que x = x0 es,
Los valores de m y m(x) son casi iguales cuando los puntos x y x0 están muy cerca uno del otro.
Vale la pena saber que en ciertos lugares es mucho más fácil calcular el límite cuando el valor de la variable es casi igual a cero. Podemos hacerlo mediante la traslación a lo largo del eje x. En efecto, estableciendo el valor de h cuando x – x0 obtenemos,
Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la curva y la recta tangente pueden simplemente compartir este punto en común.
Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la recta de tangencia deja la curva en una mitad donde se separa del plano.
Sin embargo, la pendiente de la tangente o la derivada de la función es simplemente una estimación lineal de la curva en un punto.
4.3.CONCEPTO DE DIFERENCIAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DIFERENCIALES
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.
El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.
Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento 
que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por 
y .
Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida que la entrada de la función varía. Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta varía en cada.
Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la función.
Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la función.
La noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representación geométrica, y la otra como la tasa de variación, que es la representación física. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la función geométrica.
Supongamos que una función f(x) = x2. La gráfica de la función luciría de la siguiente forma
La curva de color azul representa el gráfico de la función. Tome dos puntos en el eje x, supongamos x y x0 como en el gráfico de arriba. Determine el valor de la función en esos valores de x. Ahora trace una línea que pase por esos puntos sobre la curva de la función para obtener una línea recta. La línea roja en el gráfico anterior representa esa línea.
A medida que muevo los puntos sobre el eje x más cerca uno del otro conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a través de la curva de la función. En el instante que x = x0, la gráfica se vería así,
En tal situación, la recta tocaría el grafico en un solo punto y por tanto tendría la misma pendiente que la pendiente de la gráfica en ese punto. Esta recta se conoce como la tangente de la función en ese punto.
Determinar la pendiente de la tangente en ese punto te extraerá la derivada de la función en ese punto.
La pendiente de la recta que posee los puntos(x, f(x)) y (x0, f(x0)) será,
Aquí el valor de x no debe ser igual a x0. Mientras que la pendiente de la tangente, lo que es igual, la derivada de la función, donde tenemos que x = x0 es,
Los valores de m y m(x) son casi iguales cuando los puntos x y x0 están muy cerca uno del otro.
Vale la pena saber que en ciertos lugares es mucho más fácil calcular el límite cuando el valor de la variable es casi igual a cero. Podemos hacerlo mediante la traslación a lo largo del eje x. En efecto, estableciendo el valor de h cuando x – x0 obtenemos,
Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la curva y la recta tangente pueden simplemente compartir este punto en común.
Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la recta de tangencia deja la curva en una mitad donde se separa del plano.
Sin embargo, la pendiente de la tangente o la derivada de la función es simplemente una estimación lineal de la curva en un punto.
4.3.CONCEPTO DE DIFERENCIAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DIFERENCIALES
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.
El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.
Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por y .
y .
4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.
4.7 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y REGLA L' HOPITAL
La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,
La derivada de segundo orden de una función se representa como,
La derivada de tercer orden de una función se representa como,
Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.
La derivada de segundo orden de una función f(x), que es todavía más diferenciable,
No es posible obtener una derivada de orden superior de la función si la derivada actual de la función no es diferenciable. Para aclarar el concepto de las derivadas de orden superior eche un vistazo al ejemplo citado a continuación. f(x) = 4×3 + 9×2 – 3x + 4 La derivada de primer orden de esta función será,
f’(x) = 12×2 +18x – 3
Por la derivada anterior ser diferenciable es posible al diferenciarla nuevamente obtener la derivada de segundo orden de la función como, f’’(x) = f’(f’(x)) = 24x + 18
Al analizar la derivada de la función anterior se puede ver que esta puede ser aún más diferenciada. Por lo tanto la derivada de tercer orden de la función será,
f’’’(x) = f‘(f’(f’(x))) = 24
Ahora la derivada de cuarto orden de la función se obtiene,
f’’’(x) = f’(f‘(f’(f’(x)))) = 0
Como se puede observar ya no es posible diferenciar la función por más tiempo, por lo tanto detenemos el proceso de diferenciación aquí.
El ejemplo anterior también arroja luz sobre un hecho muy interesante, que es, si f(x) es un polinomio con n como el más alto grado entonces la derivada de mayor orden de tal función será n +1. Una diferencia muy interesante y diminuta entre la notación convencional de la potenciación y la diferenciación se explica más adelante,
f(2)(x)= f’’(x) f2(x) = [f(x)]2
Esta es, la presencia de paréntesis en el exponente denota una operación de diferenciación, mientras que su presencia en sí denota la operación de exponenciación.
La regla de L’Hôspital, también llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del cálculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los límites cuando los límites son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.
Esta regla se utiliza para transformar los límites intermedios en una forma determinada y por tanto, obtener la salida más conveniente.
La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,
La derivada de segundo orden de una función se representa como,
La derivada de tercer orden de una función se representa como,
Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.
La derivada de segundo orden de una función f(x), que es todavía más diferenciable,
No es posible obtener una derivada de orden superior de la función si la derivada actual de la función no es diferenciable. Para aclarar el concepto de las derivadas de orden superior eche un vistazo al ejemplo citado a continuación. f(x) = 4×3 + 9×2 – 3x + 4 La derivada de primer orden de esta función será,
f’(x) = 12×2 +18x – 3
Por la derivada anterior ser diferenciable es posible al diferenciarla nuevamente obtener la derivada de segundo orden de la función como, f’’(x) = f’(f’(x)) = 24x + 18
Al analizar la derivada de la función anterior se puede ver que esta puede ser aún más diferenciada. Por lo tanto la derivada de tercer orden de la función será,
f’’’(x) = f‘(f’(f’(x))) = 24
Ahora la derivada de cuarto orden de la función se obtiene,
f’’’(x) = f’(f‘(f’(f’(x)))) = 0
Como se puede observar ya no es posible diferenciar la función por más tiempo, por lo tanto detenemos el proceso de diferenciación aquí.
El ejemplo anterior también arroja luz sobre un hecho muy interesante, que es, si f(x) es un polinomio con n como el más alto grado entonces la derivada de mayor orden de tal función será n +1. Una diferencia muy interesante y diminuta entre la notación convencional de la potenciación y la diferenciación se explica más adelante,
f(2)(x)= f’’(x) f2(x) = [f(x)]2
Esta es, la presencia de paréntesis en el exponente denota una operación de diferenciación, mientras que su presencia en sí denota la operación de exponenciación.
La regla de L’Hôspital, también llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del cálculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los límites cuando los límites son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.
Esta regla se utiliza para transformar los límites intermedios en una forma determinada y por tanto, obtener la salida más conveniente.
4.8 DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:
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Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:
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unidad 5
5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES
Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.
Diferentes soluciones se pueden utilizar para encontrar la ecuación de la tangente de cualquier curva y = g(x) en los puntos x1, y1. La pendiente de la tangente a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 está dada por g‘(x1),es decir, el valor de la primera derivada de la función en x1, y1.
La ecuación requerida para esta tangente se puede encontrar en la ecuación de la recta y-y1 = m (x - x1).
Así, la ecuación de la tangente en x1, y1 se puede dar como y - y1 = g (x1) (x - x1).
Ahora bien, dado que respecto ala normalla tangente es perpendicular , su pendiente es el recíproco negativo de la pendiente de la tangente así como la pendiente de dos rectas perpendiculares son recíprocas negativas una dela otra.
Por tanto, la pendiente de la normal a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 es −1/g’(x1), donde g’(x1) ≠ 0.
Por lo tanto, la ecuación de la normal a la curva es dada como y – y1 = - (1/g’(x1)) (x – x1).
Si una recta tangente a la curva y = g(x) forma un ángulo Ө con el eje x en una dirección positiva, entonces la pendiente de la tangentes es igual a tan Ө.
Por tanto, la ecuación de la tangente puede ser escrita también como y – y1 = tan Ө (x – x1).
El concepto de tangente y normal contiene dos casos especiales:
1). Si la pendiente de la recta tangente es 0, entonces la recta tangente es paralela al eje x.
En tales casos, la ecuación de la tangente en el punto x1, y1 es y = y1.
2). Si la tangente es perpendicular al eje x, entonces en ese caso, la pendiente tiende al infinito y la recta tangente es paralela al eje y.
La ecuación se convierte entonces en x = x1.
Otro término importante asociado con el concepto de curva es el de las curvas ortogonales.
Cuando dos o más curvas se intersectan perpendicularmente entre sí, entonces se les conoce como curvas ortogonales.
Las tangentes de las curvas ortogonales son perpendiculares entre sí.
Además, el producto de sus pendientes es −1.
Estas propiedades pueden ser muy útiles para la determinación de curvas ortogonales.
Por ejemplo: Supongamos la recta y = (1 + 
) x y la recta y = (1 - ) x
Encuentre la pendiente de y = (1 + )x, obtenemos
dy/dx = d((1 + )x) / dx
= 1 +
Del mismo modo, para la recta y = (1 - )x, la pendiente resulta ser 1 -
Multiplicando la pendiente de estas dos rectas, obtenemos
m1.m2 = (1 + ). (1 - )
m1.m2 = - 1
Por tanto, estas dos rectas se dice que son ortogonales, es decir, se intersectan entre sí en ángulo de 90 °.
5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DE VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
§
La ecuación de la recta tangente a una función en el punto A( a , f ( a ) ) viene dada por la expresión: y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x – a ]
§
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
§
Si en un punto de la gráfica de una función se produce un cambio brusco de dirección ( “un pico” o “punto anguloso”), la función no es derivable en dicho punto.
TEOREMA DE ROLLE
Si f es una función continua en [ a , b ], derivable en ( a , b ) y además f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que f ’ ( c ) = 0.
Interpretación geométrica
Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que su recta tangente es paralela al eje de abscisas (es decir, es la recta y = f ( c ) ).
TEOREMA DEL VALOR MEDIO ( TEOREMA DE LAGRANGE)
Si f es una función continua en [ a , b ] y derivable en ( a , b ), entonces existe al menos un punto cÎ(a,b) en el que f ’ (c) = [ f ( b ) – f ( a ) ] / ( b – a ).
Interpretación geométrica
Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que su recta tangente es paralela al segmento determinado por los puntos A( a , f ( a ) ) y B( b , f ( b ) )
TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO (TEOREMA DE CAUCHY)
Si f y g son dos funciones continuas en [ a , b ] y derivables en ( a , b ), entonces existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que se verifica: f ’ ( c ) [ g ( b ) – g ( a ) ] = g ’ ( c ) [ f ( b ) – f ( a ) ].
Es inmediato comprobar que el teorema del valor medio es un caso particular del teorema del valor medio generalizado. Para ello, basta tomar la función g ( x ) = x.
Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.
Diferentes soluciones se pueden utilizar para encontrar la ecuación de la tangente de cualquier curva y = g(x) en los puntos x1, y1. La pendiente de la tangente a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 está dada por g‘(x1),es decir, el valor de la primera derivada de la función en x1, y1.
La ecuación requerida para esta tangente se puede encontrar en la ecuación de la recta y-y1 = m (x - x1).
Así, la ecuación de la tangente en x1, y1 se puede dar como y - y1 = g (x1) (x - x1).
Ahora bien, dado que respecto ala normalla tangente es perpendicular , su pendiente es el recíproco negativo de la pendiente de la tangente así como la pendiente de dos rectas perpendiculares son recíprocas negativas una dela otra.
Por tanto, la pendiente de la normal a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 es −1/g’(x1), donde g’(x1) ≠ 0.
Por lo tanto, la ecuación de la normal a la curva es dada como y – y1 = - (1/g’(x1)) (x – x1).
Si una recta tangente a la curva y = g(x) forma un ángulo Ө con el eje x en una dirección positiva, entonces la pendiente de la tangentes es igual a tan Ө.
Por tanto, la ecuación de la tangente puede ser escrita también como y – y1 = tan Ө (x – x1).
El concepto de tangente y normal contiene dos casos especiales:
1). Si la pendiente de la recta tangente es 0, entonces la recta tangente es paralela al eje x.
En tales casos, la ecuación de la tangente en el punto x1, y1 es y = y1.
2). Si la tangente es perpendicular al eje x, entonces en ese caso, la pendiente tiende al infinito y la recta tangente es paralela al eje y.
La ecuación se convierte entonces en x = x1.
Otro término importante asociado con el concepto de curva es el de las curvas ortogonales.
Cuando dos o más curvas se intersectan perpendicularmente entre sí, entonces se les conoce como curvas ortogonales.
Las tangentes de las curvas ortogonales son perpendiculares entre sí.
Además, el producto de sus pendientes es −1.
Estas propiedades pueden ser muy útiles para la determinación de curvas ortogonales.
Por ejemplo: Supongamos la recta y = (1 + ) x y la recta y = (1 - ) x
) x y la recta y = (1 - ) x
Encuentre la pendiente de y = (1 + )x, obtenemos
)x, obtenemos
dy/dx = d((1 + )x) / dx
)x) / dx
= 1 +
Del mismo modo, para la recta y = (1 - )x, la pendiente resulta ser 1 -
)x, la pendiente resulta ser 1 -
Multiplicando la pendiente de estas dos rectas, obtenemos
m1.m2 = (1 + ). (1 - )
). (1 - )m1.m2 = - 1
Por tanto, estas dos rectas se dice que son ortogonales, es decir, se intersectan entre sí en ángulo de 90 °.
5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DE VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que su recta tangente es paralela al eje de abscisas (es decir, es la recta y = f ( c ) ).
Si f y g son dos funciones continuas en [ a , b ] y derivables en ( a , b ), entonces existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que se verifica: f ’ ( c ) [ g ( b ) – g ( a ) ] = g ’ ( c ) [ f ( b ) – f ( a ) ].
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
§
La ecuación de la recta tangente a una función en el punto A( a , f ( a ) ) viene dada por la expresión: y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x – a ]
§
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
§
Si en un punto de la gráfica de una función se produce un cambio brusco de dirección ( “un pico” o “punto anguloso”), la función no es derivable en dicho punto.
TEOREMA DE ROLLE
Si f es una función continua en [ a , b ], derivable en ( a , b ) y además f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que f ’ ( c ) = 0.
Interpretación geométrica
TEOREMA DEL VALOR MEDIO ( TEOREMA DE LAGRANGE)
Si f es una función continua en [ a , b ] y derivable en ( a , b ), entonces existe al menos un punto cÎ(a,b) en el que f ’ (c) = [ f ( b ) – f ( a ) ] / ( b – a ).
Interpretación geométrica
Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que su recta tangente es paralela al segmento determinado por los puntos A( a , f ( a ) ) y B( b , f ( b ) )
TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO (TEOREMA DE CAUCHY)
Es inmediato comprobar que el teorema del valor medio es un caso particular del teorema del valor medio generalizado. Para ello, basta tomar la función g ( x ) = x.
5.3 FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE. MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Función creciente y función decreciente
Máximos y mínimos de una función
Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos
Concavidades y puntos de inflexión
Criterios de la derivada de segundo orden para máximos y mínimos
Hay ciertas características, o establecidos simplemente como términos, que pueden ser encontrados en las derivadas.
Estos son considerados como las aplicaciones de las derivadas.
Algunas de ellas incluyen:
Función creciente y función decreciente
Máximos y mínimos de una función
Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos
Concavidades y puntos de inflexión
Criterios de la derivada de segundo orden para máximos y mínimos
Función creciente y función decreciente: Una de las principales aplicaciones de las derivadas es determinar si la función f está creciendo o decreciendo en un intervalo determinado.
Esto puede encontrarse mediante tomar una único derivada de la función.
Si resulta ser mayor que 0 en cada punto del intervalo dado, entonces es una función creciente.
Por otro lado, si resulta inferior a 0 entonces la función será una función decreciente.
Máximos y mínimos de una función:
Se dice que una función tiene un valor máximo en el punto v, cuando el valor de f(v) es mayor que el valor en cualquiera de los puntos vecinos.
Del mismo modo, cuando el valor es menor que el valor en sus puntos vecinos, entonces ese valor se convierte en el valor mínimo de la función.
Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos:
Los relativos máximos o mínimos de la función pueden ser encontrados mediante la búsqueda de la primera derivada de la función.
Si la primera derivada resulta ser mayor que 1, en ese caso, se dice que la función está creciendo sobre el intervalo.
En el caso inverso, cuando la primera derivada resulta ser menor que 1, entonces se dice la que función es decreciente en ese intervalo.
5.4 ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNCIONES
en función de variación acotada, también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total está limitado (finito): la gráfica de una función con esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso. Para una función continua de una sola variable, por ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección de la y Ejes, dejando de lado la contribución del movimiento a lo largo de x Ejes, que recorre un punto movimiento a lo largo de la gráfica tiene un valor finito. Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es la misma, excepto por el hecho de que la trayectoria continua que se considera que no puede ser todo el gráfico de la función dada (que es un hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección de la propia gráfica con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, una plano) paralelo a un fijo xEjes y al y Ejes.
Funciones de variación acotada son precisamente aquellos respecto de los cuales uno puede encontrar en las integrales de Riemann-Stieltjes todas las funciones continuas.
Otra caracterización de los estados que las funciones de variación acotada tienen es que encuentran que en un intervalo cerrado son exactamente los f que se puede escribir como una diferencia g − h, donde ambos g y h están limitados monótono.
En el caso de varias variables, en función f definido en un subconjunto abierto Q de Rn se dice que la variación acotada si su de distribución de derivados es un recurso finito del vector.
Uno de los aspectos más importantes de las funciones de variación acotada es que forman una álgebra de funciones discontinuas cuya primera derivada existe casi en todas partes: debido a este hecho, se puede y con frecuencia se utilizan para definir soluciones generalizadas de problemas no lineales implican funcionales, ordinaria y ecuaciones diferenciales parciales en las matemáticas, la física y de ingeniería. Teniendo en cuenta el problema de la multiplicación de las distribuciones o más en general el problema de la definición general de las operaciones no lineales en funciones generalizadas, función de variación acotada son los más pequeños y en la álgebra tiene que estar integrada en todos los espacios de funciones generalizadas preservar el resultado de multiplicación.
Función creciente y función decreciente
Máximos y mínimos de una función:
Máximos y mínimos de una función
Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos
Concavidades y puntos de inflexión
Criterios de la derivada de segundo orden para máximos y mínimos
Hay ciertas características, o establecidos simplemente como términos, que pueden ser encontrados en las derivadas.
Estos son considerados como las aplicaciones de las derivadas.
Algunas de ellas incluyen:
Función creciente y función decreciente
Máximos y mínimos de una función
Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos
Concavidades y puntos de inflexión
Criterios de la derivada de segundo orden para máximos y mínimos
Función creciente y función decreciente: Una de las principales aplicaciones de las derivadas es determinar si la función f está creciendo o decreciendo en un intervalo determinado.
Esto puede encontrarse mediante tomar una único derivada de la función.
Si resulta ser mayor que 0 en cada punto del intervalo dado, entonces es una función creciente.
Por otro lado, si resulta inferior a 0 entonces la función será una función decreciente.
Se dice que una función tiene un valor máximo en el punto v, cuando el valor de f(v) es mayor que el valor en cualquiera de los puntos vecinos.
Del mismo modo, cuando el valor es menor que el valor en sus puntos vecinos, entonces ese valor se convierte en el valor mínimo de la función.
Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos:
Los relativos máximos o mínimos de la función pueden ser encontrados mediante la búsqueda de la primera derivada de la función.
Si la primera derivada resulta ser mayor que 1, en ese caso, se dice que la función está creciendo sobre el intervalo.
En el caso inverso, cuando la primera derivada resulta ser menor que 1, entonces se dice la que función es decreciente en ese intervalo.
5.4 ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNCIONES
en función de variación acotada, también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total está limitado (finito): la gráfica de una función con esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso. Para una función continua de una sola variable, por ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección de la y Ejes, dejando de lado la contribución del movimiento a lo largo de x Ejes, que recorre un punto movimiento a lo largo de la gráfica tiene un valor finito. Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es la misma, excepto por el hecho de que la trayectoria continua que se considera que no puede ser todo el gráfico de la función dada (que es un hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección de la propia gráfica con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, una plano) paralelo a un fijo xEjes y al y Ejes.
Funciones de variación acotada son precisamente aquellos respecto de los cuales uno puede encontrar en las integrales de Riemann-Stieltjes todas las funciones continuas.
Otra caracterización de los estados que las funciones de variación acotada tienen es que encuentran que en un intervalo cerrado son exactamente los f que se puede escribir como una diferencia g − h, donde ambos g y h están limitados monótono.
En el caso de varias variables, en función f definido en un subconjunto abierto Q de Rn se dice que la variación acotada si su de distribución de derivados es un recurso finito del vector.
Uno de los aspectos más importantes de las funciones de variación acotada es que forman una álgebra de funciones discontinuas cuya primera derivada existe casi en todas partes: debido a este hecho, se puede y con frecuencia se utilizan para definir soluciones generalizadas de problemas no lineales implican funcionales, ordinaria y ecuaciones diferenciales parciales en las matemáticas, la física y de ingeniería. Teniendo en cuenta el problema de la multiplicación de las distribuciones o más en general el problema de la definición general de las operaciones no lineales en funciones generalizadas, función de variación acotada son los más pequeños y en la álgebra tiene que estar integrada en todos los espacios de funciones generalizadas preservar el resultado de multiplicación.
5.5 CALCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIAL.
La diferencial nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto.
La diferencial nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto.
Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la grafica de y=f(x). Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce el nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes anteriores.
Supongamos que con este nuevo eje de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y su ecuación es simple, dy=mdx donde m es la pendiente.
5.6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y DE TASAS RELACIONADAS.
La optimización se refiere a los problemas que se ocupan de la determinada forma mas apropiada para realizar cierta tarea. Se deben de calcular los máximos y minimos de la función. La función cuyo máximo o minimo necesita determinarse por lo general esta sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.
3.- La formula será escrita en términos de una sola variable.
La optimización se refiere a los problemas que se ocupan de la determinada forma mas apropiada para realizar cierta tarea. Se deben de calcular los máximos y minimos de la función. La función cuyo máximo o minimo necesita determinarse por lo general esta sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.
Pasos para resolver un problema de optimización:
1.- Identificar las variables y constantes de la función.
2.- Escribir la formula adecuada para la función particular.
3.- La formula será escrita en términos de una sola variable.
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