la recta NUMÉRICA

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul.

NÚMEROS REALES
Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.

El conjunto de los números reales

Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos. )

Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero. .

Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma , donde m y n son enteros .

Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.

                              PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

  INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE DESIGUALDADES

Se llama intervalo al conjunto de numeros reales comprendidos entre dos dados: a y bque se denominan extremos del intervalo. Tambien se llama intervalo al segmento determinado por los puntos a y b que representa una porcion de la recta final.

INTERVALO ABIERTO

Es aquel intervalo en que ninguno de los extremos pertenecen al conjunto que él representa

INTERVALO CERRADO

Es aquel intervalo en que ambos extremos pertenecen al conjunto que él representa

INTERVALO SEMI-CERRADO (SEMI-ABIERTO)

Es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, e incorpora solo al límites "a"  entre sus componentes.

Es cerrado por la derecha y abierto por la izquierda, e incorpora solo al límites "b"  entre sus componentes.

INTERVALOS INFINITOS

En este tipo de intervalos se conoce el límite izquierdo pero no el derecho. Para este tipo de intervalos se pueden dar dos situaciones, que el intervalo sea abierto ó el intervalo sea cerrado en la izquierda, en cuyo caso se representan:

INFINITO NEGATIVO

En este tipo de intervalos se conoce el límite derecho pero no el izquierdo. Para este tipo de intervalos se pueden dar dos situaciones, que el intervalo sea abierto ó el intervalo sea cerrado en la derecha, en cuyo caso se representan:

                                  RESOLUCION DE DESIGUALDADES

Teoría

Desigualdades de primer grado con una incógnita
Las desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales.
Es decir, se puede despejar la incógnita utilizando operaciones idénticas en ambos lados de la desigualdad.
Como veremos en los ejemplos, es necesario tomar en cuenta una diferencia muy importante, pues cuando se multiplica una desigualdad por algún valor negativo, la dirección de la desigualdad se invierte, es decir, de menor que cambia a menor que y viceversa.

Desigualdades de segundo grado con una incógnita
Las desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales.
De acuerdo a las características de la expresión cuadrática, podemos determinar si la resolveremos por fórmula general, por factorización, ó despejando.
Además de tener en cuenta el efecto de la multiplicación por números negativos en la dirección de la desigualdad, también tenemos que considerar el efecto de la raiz cuadrada. Este efecto lo explicaremos en los ejemplos.
El resultado lo representaremos en notación de intervalos y con representación sobre la recta númerica.

Ejemplos

Resolveremos un par de ejemplos de cada tipo de desigualdad.

Comenzaremos con las de primer grado con una incógnita.

1) 3x – 5 ≥ 5x + 15

Sumamos 5 a los dos lados de la desigualdad
3x – 5 + 5 ≥ 5x + 15 + 5
3x ≥ 5x + 20

Restamos 5x en ambos lados
3x – 5x ≥ 5x + 20 – 5x
-2x ≥ 20

Multiplicamos ambos lados por -1/2 *
-1/2(-2x) ≤ -1/2(20)
x ≤ -10

                                                 VALOR ABSOLUTO

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

Propiedades del valor absoluto

Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10

El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

   


Ejemplos